Berechnung der Gravitationskonstante G

Das Gravitationsgesetz besagt, daß sich alle Massen gegenseitig anziehen, daß diese Kraft dem Produkt der Massen proportional ist und indirekt proportional dem Quadrat der Entfernung zwischen den Massen. Die Gravitationskonstante macht aus dieser Beziehung eine Gleichung, sie zählt zu den wichtigen universellen Naturkonstanten. Zur Ermittlung der auch nach Newton benannten Konstante wurden in der Vergangenheit ausschließlich mechanische Verfahren benutzt, die vielen Störgrößen unterliegen, weshalbbisher als Konstante mit großer Ungenauigkeit gilt.

Vergleichsweise ist die Unsicherheit einer Berechnung lediglich durch die Genauigkeit der dabei verwendeten Naturkonstanten bedingt. In der Vergangenheit gab es diverse ergebnislose Versuche zur rechnerischen Bestimmung von[1]. Im folgenden zeigt der Autor auf Basis der in [2], [3] geschaffenen theoret. Grundlagen eine neue Möglichkeit zur rechnerischen Bestimmung der Gravitationskonstante.

Durch Berechnungen rückt eine Reduzierung der Unsicherheit vonum mehrere Zehnerpotenzen in greifbare Nähe. Zunächst erscheint die Ermittlung mittels zwei im Abstandgegenüberstehenden Elektronen naheliegend. Analog zum Coulombschen Gesetz, bei dem sich Ladungen mit unterschiedlichen Vorzeichen anziehen, läßt sich Gravitation als Anziehung entgegengesetzter Pole verstehen, wobei sich Coulombkraftund Gravitationskraftnach Betrag stark unterscheiden:

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Der Quotient Fc ∕ Fg wird auch als Eddington’s Zahl bezeichnet und selbst für Feynman hatte das Kräfteverhältnis zwischen zwei wechselwirkenden Elektronen große Bedeutung. Der Quotient Fc ∕ Fg kann durch den Term N2 ∕ 24 ersetzt werden, wobei N als Large Number bezeichnet wird [2]. Zunächst wird von dem 1986 vom internationalen Codata- Komitee anerkannten voicepoint image ausgegangen [4].
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voicepoint image (1)

Das Ergebnis läßt erkennen, daß es sich bei der Large Number N um eine große Zahl mit dem Betrag von etwa 1 X 1022 handelt. 1986 waren Angaben wie G = 6.672605 X 10-11 typisch, wobei die Large Number mit N = 1 X 1022

ohne nähere Begründung vorausgesetzt wurde [3]. Der Zusammenhang zwischen Masse und Naturkonstanten wird durch die folgende Beziehung definiert, wobei Planckmasse Mo ohne π ∕ 2 Planck ́s Intention von 1900 entspricht. Z0 ist der Wellenwiderstand des Vakuums [3].

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Diese Gl. stellt die Verbindung zu weiteren Naturkonstanten her, ihre Erweiterung bietet die Möglichkeit der Ermittlung von G0 als Grundlage für Ausgangsdaten zur Bestimmung der Large Number N0. In der Folge wird für die Feinstrukturkonstante α der Buchstabe b verwendet.

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Der Index 0 bei G0 bezieht sich auf die Zugrundelegung des Wertes für weitere Berechnungen. Nach Umformung von Gl.(1) erhält man

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Und durch Substitution von voicepoint image entsteht daraus die absolute Minimalvariante einer Gleichung zur Berechnung von G:

voicepoint image (3)

Durch Gleichsetzung der Gl.(3) mit Gl.(2) kann N gewonnen werden:
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Der Index bei N0 weist auf die Grundlage für weitere Berechnungen hin. Die rel. Unsicherheit von N02 ist durch die Unsicherheiten der beteiligten Konstanten mit voicepoint image, voicepoint image und voicepoint image bedingt, deren Summe voicepoint image beträgt. Von Codata wurden im Zeitraum von 1986 bis 2014 folgende verbindliche Werte zu G veröffentlicht:

Tabelle I

Codata value Unsicherheit Datum
voicepoint image voicepoint image 1986
voicepoint image voicepoint image 1998
voicepoint image voicepoint image 2002
voicepoint image voicepoint image 2006
voicepoint image voicepoint image 2010
voicepoint image voicepoint image 2014

Die Angaben zeigen, daß G im Jahre 2006 ein Maximum erreichte, das in den darauf folgenden Jahren wieder etwas abflachte. Der Gedanke war geboren, diesen abnehmenden Trend auf die Elektronmasse me zu beziehen, welche sich nach der umgeformten Gl.(3) aus den Jahresangaben zu G ergibt, also voicepoint image. Diese Werte wurden zur präzisen Auswertung auf die in Gl.(2) und Gl.(4) angegebenen Werte G0 und N0 bezogen. Damit ergeben sich folgende Abweichungen für die einzelnen Jahreswerte:

Tabelle II

 voicepoint image me-bezogene Abweichungen  
 voicepoint image  voicepoint image Bezug
 voicepoint image  voicepoint image 1986
 voicepoint image  voicepoint image 1998
 voicepoint image  voicepoint image 2002
 voicepoint image  voicepoint image 2006
 voicepoint image  voicepoint image 2010
 voicepoint image  voicepoint image 2014

Aus diesen auf die Elektronmasse bezogenen Abweichungen wurde abgeleitet, daß die von Codata angegebene G - Zunahme auch auf eine durch Gl.(3) gegebene me - Abnahme zu erklären ist. Es gestaltete sich als schwierig, die einzige dafür infrage kommende Ursache zu finden. Im Zeitraum zwischen 1986 und 2014 reduzierten sich die von Codata für me angegebenen Massen mit voicepoint image auf vernachlässigbare Weise. Es konnte sich also nur um einen Kardinalfehler bei der Ermittlung von G um 1986 handeln, der im Verlauf von Jahren beseitigt wird. Erste Anhaltspunkte ergaben sich aus dem in Fachliteratur viel diskutierten Einfluß der Mitbewegung des Protons beim Wasserstoffatom.

Ein endlich schwerer Kern bewegt sich unter dem Einfluss der Masse des Elektron um den gemeinsamen Schwerpunkt, was für die Rydberg-Konstante Ry Korrektur der Form voicepoint image zur Folge hat. Gleichzeitig erhöht sich die Masse des Elektron durch seine relativist. Umlaufgeschwindigkeit voicepoint image, was den Einfluß weiterer, nur unvollständig zu erfassender, Größen aufzeigt [5].

Die Reduzierung der Rydbergkonstante von Ry auf Ryr gilt auch für die Masse des Elektron, da auch gilt: voicepoint image. Zur Ermittlung der real wirksamen Rydbergkonstante Ryr wird die von Codata in [6] genannte hydrogen transition frequency zugrunde gelegt:voicepoint image(71). Damit ergibt sich die real wirksame Rydbergkonstante Ryr:

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Die Rydbergkonstante Ry gilt als genaueste Naturkonstante überhaupt. Der dimensionslose Quotient Q zwischen ihr und der real wirksamen Rydbergkonstante ist Dreh- und Angelpunkt der Berechnung, er beträgt

voicepoint image (5)
Die Differenz voicepoint image entspricht der in der Tabelle II dargestellten me - bezogenen Abweichung. Der Vergleich zeigt, daß durch den Quotient die angesprochenen Probleme bei der Nachbildung korrekter Verhältnisse beim H-Atom und ebenfalls bei der Ermittlung von G nach Gl.(3) überwunden werden können. Auf dieser Basis läßt sich die Gravitationskonstante mit den Gleichungen (3), (4), (5) berechnen.

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voicepoint image (6)

Nunmehr wird untersucht, welche Abweichungen zuverlässige Angaben zu G aus der Literatur gegenüber dem berechneten Wert Gneu haben. Dazu werden in Tabelle III zunächst nur glaubhafte Werte zum Vergleich herangezogen, auch wenn sie teilweise mehrere Jahre zurückliegen:

Tabelle III

 Nennwert   Unsicherheit   Herkunft   Jahr   Quelle 
voicepoint image voicepoint image  G World   1997   [7] 
voicepoint image voicepoint image  Uni Washington   2000   [7], [4] 
voicepoint image voicepoint image  UCI-14 Input   2014   [6] 
voicepoint image voicepoint image  Codata values   2014   [6] 

Wie folgende Tabelle IV zeigt, liegen alle Abweichungen dieser Werte gegenüber dem berechneten Wert voicepoint image innerhalb der von den Autoren angegebenen Unsicherheit. Das Verhältnis von berechneter Abweichung zu Unsicherheit beträgt weniger als eine Standardabweichung.

Tabelle IV

Quotient Abweichung Abw./Unsicherheit
voicepoint image voicepoint image 0.047
voicepoint image voicepoint image 0.337
voicepoint image voicepoint image 0.797
voicepoint image voicepoint image 0.529

Ein Ergebnisvergleich der im Jahre 2002 modernsten Angaben nach [7], Tabelle 7.5 mit Gneu zeigt, daß alle darin angegebenen Toleranzen eingehalten werden. Anders ist es bei den von Codata in [6] Table XV gemachten Angaben zu G, wo von 14 Literaturstellen lediglich die folgenden 5 die ihnen zugeordneten Fehlertoleranzen einhalten:


  Bagley and Luther (1997) LANL-97 voicepoint image
  Gundlach and Merkowitz (2000, 2002) voicepoint image
  Kleinvoß, Kleinvoß et al. (2002) voicepoint image
  Schlamminger et al. (2006) UZur-06 voicepoint image
  Newman et al. (2014) UCI-14 voicepoint image

Table XV läßt erkennen, daß von Codata zu G angegebene Werte zum Teil großen Abweichungen unterliegen. Das wird deutlich bei Verwendung des Mittelwertes der 14 enthaltenen Werte mit voicepoint image anstelle von Gneu, wobei nur 4 von 14 Werten im angegebenen Toleranzbereich liegen.

Zur praxisnahen Berechnung von G ist die Zusammenfassung der unter Gl.(4) und Gl.(5) genannten Ergebnisse zu einer Konstante K sinnvoll.

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voicepoint image (7)

Aus der abs. Minimalvariante Gl.(3) lassen sich weitere Gleichungen ableiten, indem der Elektronradius re einmal durch die Beziehung voicepoint image und andermal durch die Beziehung voicepoint image ersetzt wird:voicepoint image

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Die Unsicherheit bei der Berechnung von G wird vorwiegend durch N02 nach Gl.(4) bzw. die Konstante voicepoint image nach Gl.(7) bestimmt. Dazu kommt bei Gl.(3) noch die Unsicherheit der Elektronmasse voicepoint image.Die Ungenauigkeit der noch beteiligten Konstanten kann vernachlässigt werden. (voicepoint image , voicepoint image , voicepoint image). Die Unsicherheit der Elektronmasse me bestimmt also den Gesamtfehler der G - Berechnung.

Eigentliche Ursache der Ungenauigkeit von me ist die zugrundeliegende Avogadro- Konstante mit voicepoint image, wodurch eine weitere Erhöhung der Genauigkeit von G begrenzt wird. Prinzipiell ist die Genauigkeit von G auf das 3-fache der für NA geltenden Unsicherheit begrenzt. Durch SI-Bestrebungen ist Angleichung auf voicepoint image geplant [8], was künftige Genauigkeits- Grenzen von G deutlich macht.

DAS G- FELD IST ENERGIE ! FOLGLICH EXISTIERT KEIN „LEERER“ RAUM. AUCH DAS ELEKTRON LIEFERT SEINEN BEITRAG..... (M. Geilhaupt)

Den Berechnungen liegen folgende Naturkonstanten zugrunde:

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Literature

1.  E. Suckert: Über Natur des Elektrons und Ursache der Gravitation, 2013
2.  Prof. Dr. Manfred Geilhaupt: Fundamental Unit Momentum, 1986
3.  Prof. Dr. Manfred Geilhaupt: Basic Units of Physics, 1984
4.  Prof. Dr. Wolschin: Schwierige Bestimmung einer Naturkonstante, 2001
5.  Samuel Miesch: Atomare Spektren - Bohrsches Atom- Modell, 2003
6.  CODATA: Recommended Values of the Fundamental Physical Constants, 2014
7.  Ulf Kleinevoß: Bestimmung der Newtonschen Gravitationskonstante,2002
8.  David Newell: The CODATA 2017 values for the revision of the SI, 2018

Dipl.-Ing. (FH) Kurt Vogel
Email: kurt.vogel@gmx.de
Datum: 30.04.2019

 

Gravitationskonstante
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